Что такое смежные углы

Определение смежных углов

Определение

Смежными углами называются два прилежащих угла, несовпадающие стороны которых образуют прямую (рис. 1).

Определение

Углы называются прилежащими, если они имеют общую вершину и общую сторону, а также, если их внутренние области не покрывают друг друга (рис. 2).

Теорема

Теорема о смежных углах.

Сумма градусных мер смежных углов равна .

Пример

Задание. Чему равна градусная мера угла , если градусная мера смежного с ним угла равна ?

Решение. Из теоремы о смежных углах получаем, что

Отсюда

Ответ.

Следствия из теоремы о смежных углах

  1. Если два угла равны, то углы, которые являются для них смежными, также равны.
  2. Если угол не развернутый, то он не равен 180 градусам.
  3. Угол, который является смежным прямому углу (то есть углу, градусная мера которого равна ), также является прямым.
  4. Угол, смежный с острым углом (величина которого меньше ), является тупым (величина больше ), а смежный тупому - острым.
Пример

Задание. Доказать, что для двух неравных углов, их смежные углы также не равны, причем большему углу соответствует меньший смежный угол.

Доказательство. Пусть заданы два угла . Для определенности будем считать, что . Пусть и - соответствующие им смежные углы. Тогда по теореме о смежных углах имеем:

Так как , то и разности, стоящие в правых частях последних равенств также не равны, причем при равенстве уменьшаемого та разность меньше, где вычитаемое больше, следовательно .

Что и требовалось доказать.

Свойства (тригонометрические соотношения)

  1. Синусы смежных углов равны. Их косинусы и тангенсы равны по величине, но имеют противоположные знаки (за исключением неопределённых значений).
  2. Чтобы построить угол, смежный данному, надо одну из сторон рассматриваемого угла продлить за вершину (рис. 3).


Читать дальше: что такое острый угол.