Формулы равноускоренного прямолинейного движения в физике

Формулы равноускоренного прямолинейного движения

Определение и формулы равноускоренного прямолинейного движения

Определение

Равноускоренным прямолинейным движением называют движение, при котором величина ускорения постоянна, векторы скорости и ускорения имеют одинаковые направления, модуль скорости увеличивается.

При описании подобного движения обходятся одной осью координат системы отсчета, например, X.

Любые кинематические задачи можно решить при помощи двух уравнений при равноускоренном прямолинейном движении:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x(t)=v_{0x}+a_xt\ . \\ x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2} \end{array} \right.\left(1\right),\]

где $v_x(t)$ - проекция вектора мгновенной скорости на ось X; $v_{0x}$ - проекция вектора начальной скорости на ось X; $a_x$ - проекция вектора ускорения на X; $x(t)$ - координата материальной точки в момент времени $t$; $x_0$ - координата материальной точки в начальный момент времени.

Величина перемещения и путь

Рассмотрим материальную точку, движущуюся равноускоренно и прямолинейно по оси X. В таком случае проекция вектора перемещения на ось X равна:

\[\Delta x=x-x_0\left(2\right).\]

Из второго уравнения системы (1) получаем, что:

\[\Delta x=v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\ \left(3\right).\]

При прямолинейном движении направление вектора скорости постоянно. Величина пути, проходимого телом ($s$) модулю перемещения:

\[s=\left|\Delta x\right|=\left|v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\right|\left(4\right).\]

Если исключить время из системы уравнений (1), и использовать выражение (2), то получим, что перемещение точки равно:

\[\Delta x=\frac{v^2_x-v^2_{0x}}{2a_x}\left(5\right).\]

При этом квадрат мгновенной скорости:

\[v^2_x=v^2_{0x}+2a_x\Delta x\ \left(6\right).\]

Формула средней скорости при равноускоренном прямолинейном движении

Из первого уравнения системы (1) имеем:

\[a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}\left(7\right).\]

Величину ускорения из уравнения (7) подставим в формулу (5) получим, что перемещение по оси X равно:

\[\Delta x=\frac{v_x+v_{0x}}{2}t\left(8\right).\]

Найдем проекцию средней скорости на ось X из определения средней скорости движения:

\[{\left\langle v\right\rangle }_x=\frac{\Delta x}{t}\left(9\right).\]

Разделим правую и левую части выражения (8) на время движения тела. Получим, что средняя скорость при рассматриваемом движении равна:

\[\frac{\Delta x}{t}=\frac{v_x+v_{0x}}{2}={\left\langle v\right\rangle }_x\left(10\right).\]

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Камень падает в шахту. Звук удара о дно слышен через промежуток времени $t_0$ от момента начала его движения. Какова глубина шахты, если скорость звука считать равной $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Формулы равноускоренного прямолинейного движения, пример 1

Камень движется прямолинейно и равноускоренно в поле тяжести Земли, следовательно, ускорение его движения равно $\overline{g}$. Уравнение перемещения камня запишем как:

\[y=y_0+v_0t+\frac{gt^2}{2}\left(1.1\right),\]

где по условию задачи начальная скорость камня равна нулю ($v_0=0$). Начало системы координат выберем в точке начала падения камня (рис.1), значит: $y_0=0$. Уравнение (1.1) преобразуется к виду, если мы обозначим глубину шахты как $h$:

\[h=\frac{g{t_1}^2}{2}\left(1.2\right),\]

где $t_1$ - время падения камня.

Звук от удара камня о землю движется вверх по прямой с постоянной скоростью $v$, он проходит расстояние равное глубине шахты:

\[h=vt_2\left(1.3\right).\]

При этом время от начала падения до момента, когда был слышен звук, которое в условии задачи обозначено как $t_0$ равно:

\[t_0=t_1+t_2\left(1.4\right).\]

Найдем время падения камня. Для этого приравняем правые части выражений (1.2) и (1.3), учтем равенство (1.4):

\[\frac{g{t_1}^2}{2}=v\left(t_0-t_1\right)\left(1.5\right).\]

Из квадратного уравнения (1.5), время падения камня получаем равным:

\[t_1=-\frac{v}{g}+\sqrt{{\left(\frac{v}{g}\right)}^2+\frac{2vt_0}{g}}\ \left(1.6\right).\]

Глубину шахты найдем, подставляя вместо $t_1$ в формулу (1.2) правую часть выражения (1.6):

\[h=\frac{g}{2}{\left(-\frac{v}{g}+\sqrt{{\left(\frac{v}{g}\right)}^2+\frac{2vt_0}{g}}\right)}^2.\]

Ответ. $h=\frac{g}{2}{\left(-\frac{v}{g}+\sqrt{{\left(\frac{v}{g}\right)}^2+\frac{2vt_0}{g}}\right)}^2$

Пример 2

Задание. Тело перемещается прямолинейно и равноускоренно. Начальная скорость его равна $v_0$. Каким должно быть ускорение этого тела, если за промежуток времени равный $t'=1$ c оно проходит путь равный $s(t')=$8 м, при этом скорость его становится равной $v=3v_0.$

Решение. Ось X системы отсчета направим по движению тела. Будем считать, что тело начало свое движение из начала координат. Тогда кинематические уравнения, описывающие движения этого тела имеют вид:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x(t)=v_0+at\ (2.1). \\ x\left(t\right)=v_0t+\frac{at^2}{2}\left(2.2\right). \end{array} \right.\]

Учитывая условие задачи: $v(t')=3v_0$ и применяя уравнение (2.1) запишем:

\[v\left(t'\right)=3v_0=v_0+at'\to a(t')=\frac{2v_0}{t'}\left(2.3\right).\]

Исходя из (2.2) и (2.3) $s(t')$ равен:

\[s\left(t'\right)=v_0t'+\frac{a{t'}^2}{2}=v_0t'+\frac{2v_0}{t'}\frac{{t'}^2}{2}=2v_0t'\left(2.4\right).\]

Из формулы (2.4) получим:

\[v_0=\frac{s\left(t'\right)}{2t'}\left(2.5\right).\]

Подставим полученную начальную скорость (2.5) в выражение для ускорения (2.3), имеем:

\[a\left(t'\right)=\frac{2}{t'}\frac{s\left(t'\right)}{2t'}=\frac{s\left(t'\right)}{{t'}^2}.\]

Вычислим искомое ускорение:

\[a\left(t'\right)=\frac{8}{1^2}=8\ (\frac{м}{с^2}).\]

Ответ. $a\left(t'\right)=8\ \frac{м}{с^2}$

Читать дальше: формулы свободного падения.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 466 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!