Скорость в физике, теория и онлайн калькуляторы

Скорость

Мгновенная скорость

Местоположение материальной точки в пространстве зададим при помощи радиус-вектора $\overline{r}$. Если точка движется, то $\overline{r}$ изменяется в обще случае по величине и направлению. Пусть в некоторый момент времени ($t_1$) положение точки задает вектор ${\overline{r}}_1$, в другой момент ($t_2$) задает вектор ${\overline{r}}_2$. При этом:

\[t_2-t_1=\Delta t\ \left(1\right).\]

За время $\Delta t$ точка проходит путь, который обозначим $\Delta s$, при этом перемещение точки равно:

\[\Delta \overline{r}={\overline{r}}_2-{\overline{r}}_1\left(2\right).\]

Тогда предел отношения $\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$ при $\Delta t\to 0$ называют мгновенной скоростью ($\overline{v}$):

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}\ }\left(3\right).\]

Выражение (3) показывает, что скорость можно определить как производную от перемещения по времени:

\[\overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt}\left(4\right).\]

Скорость - векторная величина. Вектор $\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$ - это секущая для траектории движения точки. При предельном переходе точки пересечения вектора $\frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}$ сближаются ($\Delta s\to 0$), происходит сливание в одну точку, в результате вектор скорости является касательным к траектории (в соответствующей точке) движения тела.

В проекциях на оси декартовой системы координат вектор скорости можно представить как:

\[\overline{v}=v_x\overline{i}+v_y\overline{j}+v_z\overline{k}\ \left(5\right),\]

где $\overline{i}$; $\overline{j}$; $\overline{k}$ - единичные векторы осей X, Y, Z; $v_x=\frac{dx}{dt};;v_y=\frac{dy}{dt};;\ v_z=\frac{dz}{dt}$. При этом модуль скорости равен:

\[v=\sqrt{v^2_x+v^2_y{+v}^2_z}\left(6\right).\]

Элементарный путь ($\Delta s$) в общем случае не равен модулю элементарного перемещения ($\left|\Delta \overline{r}\right|$), но если рассматривать отрезки пути и перемещения при $\Delta t\to 0$, то различие между этими параметрами будет тем меньше, чем ближе $\Delta t$ к нулю, поэтому можно считать, что:

\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\ }\left(7\right).\]

Единицей скорости является скорость такого движения, при котором перемещение точки в единицу времени равно единице длины:

\[\left[v\right]=\frac{\left[s\right]}{\left[t\right]}.\]

В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения скорости (в том числе и средней скорости) является метр в секунду:

\[\left[v\right]=\frac{м}{с}.\]

Средняя скорость

Определение

Средней скоростью ($\left\langle v\right\rangle $) материальной точки за промежуток времени $\Delta t$ называют физическую величину, равную отношению перемещения, которое совершило тело к этому промежутку времени:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac{\Delta r}{\Delta t}\left(8\right).\]

Направление средней скорости такое же, как у перемещения.

Для количественной оценки средней скорости часто используют следующее определение средней скорости: средняя скорость равна отношению всего пройдённого пути (s) ко времени (t), которое было затрачено на движение:

\[\left\langle v\right\rangle =\frac{s}{t}\left(9\right).\]

Определяемая таким образом средняя скорость является скалярной величиной.

Формулы скорости при движении разных видов

При равномерном движении скорость тела является постоянной. Ее находят как:

\[v=\frac{s}{t}\left(10\right),\]

где $s$ - путь; $t$ - время движения. При равномерном прямолинейном движении у скорости постоянным является не только величина, но и направление, то есть можно записать:

\[\overline{v}=const.\]

Если известно ускорения точки как функция от времени ($\overline{a}(t)$) и начальная скорость движения тела (при $t=0$) (${\overline{v}}_0$), то скорость можно найти в любой момент времени как:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\int\limits^{t'}_0{\overline{a}(t)}dt\ \left(11\right).\]

При равнопеременном движении (при $\overline{a}=const$) скорость равна:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\ \left(12\right).\]

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Два тела начали движение из точки А в одном направлении. Они перемещаются прямолинейно. Пройдённый путь первой точки задан уравнением: $s_1=5t+t^2$; для второй точки уравнение пути: $s_2=t+2t^2+4t^3.\ $Какова относительная скорость тел?

Решение. Сделаем рисунок.

Скорость, пример 1

Тела движутся в одном направлении по прямой, относительную скорость ($u$) определим как:

\[u=v_1-v_2\left(1.1\right).\]

Скорости каждого тела найдем, используя формулу:

\[v=\frac{ds}{dt}\left(1.2\right),\]

следовательно:

\[v_1=\frac{d}{dt}\left(5t+t^2\right)=5+2t;\ v_2=\frac{d}{dt}\left(t+2t^2+4t^3\right)=1+4t+12t^2\ \left(1.3\right).\]

Используя выражения (1.3) найдем $u$ по формуле (1.1):

\[u=5+2t-1-4t-12t^2=4-2t-12t^2.\]

Ответ. $u\left(t\right)=4-2t-12t^2$

Пример 2

Задание. Прямолинейное движение материальной точки задано уравнением: $x=3t-4t^{3\ \ }(м)$. Движение начинается при $t=0c$. Чему равна величина скорости при $t=1$ c?

Решение. Движение происходит по прямой X, так как оно задается уравнением:

\[x=3t-4t^{3\ \ }\left(2.1\right).\]

Следовательно, скорость найдем как:

\[v=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(3t-4t^{3\ \ }\right)=3-12t^2\left(2.2\right).\]

Вычислим модель скорости при $t=1\ с:$

\[v\left(t=1\ c\right)=\left|3-12\right|=9\ \left(\frac{м}{с}\right).\]

Ответ. $v$=9 $\frac{м}{с}$

Читать дальше: амплитуда колебаний.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 446 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!