Автор Тема: Найти минимальное значение функции  (Прочитано 6901 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Esquirol

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Подскажите, пожалуйста, как найти минимальное значение этой функции, не используя производную.

f(x)=cos(8x)+4cos(4x)+7cos(2x)+6cos(x)

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #1 : 17 Апреля 2011, 06:26:35 »
Если решать графически, то ответ  min[f(x)] = -9  при \( x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n \)

А вот как аналитически (но без производной)  - самому интересно было бы узнать.
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн tig81

  • Глобальный модератор
  • *****
  • Сообщений: 15181
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #2 : 17 Апреля 2011, 12:43:53 »
Подскажите, пожалуйста, как найти минимальное значение этой функции, не используя производную.
f(x)=cos(8x)+4cos(4x)+7cos(2x)+6cos(x)
Какое максимальное и минимальное значение может принимать каждый косинус?

Оффлайн Esquirol

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #3 : 17 Апреля 2011, 22:24:04 »
Подскажите, пожалуйста, как найти минимальное значение этой функции, не используя производную.
f(x)=cos(8x)+4cos(4x)+7cos(2x)+6cos(x)
Какое максимальное и минимальное значение может принимать каждый косинус?
Максимальное - каждый косинус может быть равен единице.
С минимальным я не могу понять, как вывести это значение, поэтому и спрашиваю.

Оффлайн tig81

  • Глобальный модератор
  • *****
  • Сообщений: 15181
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #4 : 17 Апреля 2011, 22:30:21 »
Максимальное - каждый косинус может быть равен единице.
А может и нет.
\( -1\leq\cos{ax}\leq 1 \)
Для каждого слагаемого запишите подобное неравенство.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #5 : 18 Апреля 2011, 13:35:30 »
Если это выражение выразить только через  cos(x)  и сделать замену t=cos(t), то получается полином восьмой степени:

\( y=128 t^8-256 t^6+192 t^4-50t^2+6t-2 \)

Глобальный минимум достигается  при t=-0.5  и тогда y=-9

Ответ верный, но как обойтись без производной - не знаю.
Нужно применить к тригонометрическому уравнению какую-то красивую хитрость. Очень бы хотел знать ее! Поместил бы в книгу, так как такая задача с косинусами, решенная в общем виде, стала бы шедевром.
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #6 : 19 Апреля 2011, 14:12:15 »
Нашел, однако, свой метод случайного поиска.
Сначала чертим график:



Выявляем приблизительно иксы, при которых экстремальные минимумы: это хх=1 и хх=2

Составляем прогу с алгоритмом метода Монте-Карло:

open #1,"4cos.txt","w"
a1=1:b1=8:a2=4:b2=4:a3=7:b3=2:a4=6:b4=1:z=0.1
for xx=1 to 2:x0=xx:s=10^5:nn=10000
for j=1 to nn:x=x0*(1+z*(ran()-.5))
f=a1*cos(b1*x)+a2*cos(b2*x)+a3*cos(b3*x)+a4*cos(b4*x)
if  f<=s then:print x,f
print #1,x using "###.######",f using "###.######"
s=f:x0=x:fi:next j:print:print #1
print:print #1:next xx

и в результате замечательные ответы:
       x                f
  0.950461  -1.692946
  0.953189  -1.736618
  0.970772  -2.010361
  0.991269  -2.310455
  1.170793  -3.655530
  1.170798  -3.655530
  1.171122  -3.655539
  1.171249  -3.655541
  1.171286  -3.655541
  1.171324  -3.655541
  1.171318  -3.655541 - первый экстремум


  2.084204  -8.995748
  2.094766  -8.999994
  2.094539  -8.999999
  2.094491  -9.000000
  2.094468  -9.000000
  2.094414  -9.000000
  2.094392  -9.000000 - глобальный экстремум

Задача прекрасная и тут она решена в самом общем виде - можно менять 8 параметров ( по два параметра на каждый косинус)
« Последнее редактирование: 19 Апреля 2011, 14:23:15 от renuar911 »
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #7 : 19 Апреля 2011, 21:09:18 »
На рисунке ошибочно в формуле набил 5 вместо 7. Поэтому исправляюсь:

За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн Esquirol

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 4
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #8 : 20 Апреля 2011, 02:26:02 »
это задача из книги Сергеева для абитуриентов МГУ и задачка расположена в параграфе " Исследование функций без производной". стало быть, есть метод без производной решить ее и без программы ( т.к. задача со вступительного экзамена). Расписанные неравенства все равно мне ничего не дали(.


Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #9 : 20 Апреля 2011, 17:21:30 »
Я тоже чувствую, что метод есть. Как бы его найти? Численным анализом установил, что целочисленные и полуцелочисленные минимумы будут  равны минус половины максимума  при \( x=\frac {2\pi}{3} \) для таких уравнений:

\( \cos (8x)+\cos (4x)+\cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 2 \cos (4x)+\cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 2 \cos (4x)+ 2 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 2 \cos (4x)+ 3 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 2 \cos (4x)+ 4 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 3 \cos (4x)+ 3 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 3 \cos (4x)+ 4 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 3 \cos (4x)+ 5 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 3 \cos (4x)+ 6 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 5 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 6 \cos (2x)+4 \cos (x) \)
____________________________________
\( \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 7 \cos (2x)+6 \cos (x) \)
\( ^{-----------------------------} \)

\( \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 8 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 7 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 8 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

Ну и так далее...  Выделен наш рассматриваемый вариант.
Почему же именно при таких параметрах при одном и том же x получаем глобальный минимум, равный половине максимума с обратным знаком?

А вот если посмотрим на:

\( \cos (8x)+ \cos (4x)+ 2 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

то окажется, что при \( x=\frac {2\pi}{3} \) функция принимает значение -6, но этот минимум локальный,(хотя и равен половине максимума с обратным знаком). Глобальный же минимум: -7,08432 при х=2.69146. Удивительная задачка! Еще более удивительным должен оказаться аналитический метод расчета глобального минимума.
Ау, профессионалы тригонометрии!!!
« Последнее редактирование: 20 Апреля 2011, 17:47:34 от renuar911 »
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #10 : 20 Апреля 2011, 20:54:34 »
Если при первом косинусе двойка, то такие решения в целых глобальных минимумах:

\( 2 \cos (8x)+4 \cos (4x)+ \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 2 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 3 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 4 \cos (4x)+ 4 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 3 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 4 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 5 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 5 \cos (4x)+ 6 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\(  2\cos (8x)+ 6 \cos (4x)+ 5 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\(  2\cos (8x)+ 6 \cos (4x)+ 6 \cos (2x)+4 \cos (x) \)

\(  2\cos (8x)+ 6 \cos (4x)+ 7 \cos (2x)+6 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 6 \cos (4x)+ 8 \cos (2x)+8 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 7 \cos (4x)+ 7 \cos (2x)+2 \cos (x) \)

\( 2 \cos (8x)+ 7 \cos (4x)+ 8 \cos (2x)+4 \cos (x) \)


Ну и так далее...   Какие мысли насчет простой задачки, которую предлагают на вступительном экзамене?
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #11 : 22 Апреля 2011, 16:28:54 »
Для иных коэффициентов при x:

\( \cos (4x)+\cos (3x)+4 \cos (2x) + 4 \cos (x) \quad \to \, min=-\frac{7}{2} \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+5 \cos (2x) + 3 \cos (x) \quad \to \, min=-4 \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+5 \cos (2x) + 6 \cos (x) \quad \to \, min=-5 \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+6 \cos (2x) + 3 \cos (x) \quad \to \, min=-5 \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+6 \cos (2x) + 8 \cos (x) \quad \to \, min=-\frac{13}{2} \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+7 \cos (2x) + 3 \cos (x) \quad \to \, min=-6 \)

\( \cos (4x)+\cos (3x)+8 \cos (2x) + 3 \cos (x) \quad \to \, min=-7 \)

и так далее...
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Найти минимальное значение функции
« Ответ #12 : 27 Апреля 2011, 13:54:07 »
Задачу раскрутил и даю метод нахождения глобального минимума без производной. Итак, имеется выражение:

\( a_1 \cos(8x)+a_2 \cos(4x)+a_3 \cos(2x) + a_4 \cos(x) \)

У нас  \( a_1=1 \,; \quad a_2=4\,; \quad a_3=7\,; \quad a_4=6 \)

Нужно найти глобальный минимум \( f_{min} \). У этой зависимости есть три зоны появления глобального минимума. Все их рассматривать очень долго. Расскажу о средней зоне, где глобальный минимум появляется в точке \( x=\frac{2\pi}{3} \). В этом случае должны выполняться условия:

\( a_3=a_2-3a_1-\frac{2}{3} f_{min} \, ; \quad a_4=2a_1-2a_2-\frac{4}{3} f_{min} \)

\( \frac{17}{8}a_1+\frac{f_{min}}{12}\le a_2 \le a_1-\frac{2}{3}f_{min} \)

  Проверим это:

\( f_{min}=\frac{3}{2}(a_2-3a_1-a_3)=-9 \)

\( f_{min}=\frac{3}{4}(2a_1-2a_2-a_4)=-9 \)

\( 1.375 < 4 < 7 \)

Таким образом, ответ получен.
« Последнее редактирование: 27 Апреля 2011, 14:08:18 от renuar911 »
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

 

Найти скорость катера и его скорость по течению

Автор Александра20123

Ответов: 4
Просмотров: 5813
Последний ответ 01 Марта 2012, 00:42:23
от tig81
Найти собственную скорость катера и скорость течения реки

Автор Аллочка

Ответов: 1
Просмотров: 17151
Последний ответ 12 Марта 2011, 10:35:04
от Nord
Найти собственную скорость катера и скорость течения реки

Автор Аллочка

Ответов: 1
Просмотров: 4343
Последний ответ 12 Марта 2011, 11:21:43
от tig81
Задача на скорость 6 класс. Найти скорость каждого автомобиля

Автор igorka

Ответов: 25
Просмотров: 8020
Последний ответ 22 Мая 2012, 20:55:40
от Dimka1
Математика 4 класс учебник Моро. Найти среднюю скорость за время полёта

Автор Гамалей

Ответов: 4
Просмотров: 26459
Последний ответ 25 Октября 2011, 23:57:35
от Dimka1