Помогите найти значение параметра

[Kreator]

При каких a из неравенства
\( ax^2-2(a+1)x+4a<0 \)
следует неравенство
\( x>1 \)

[renuar911]

Думаю, надо так.
При положительных a ветви параболы устремлены вверх. Найдем a  из условия, что одна из ветвей пересечет ось OX при x=1:

\( a\cdot 1^2-2(a+1)\cdot 1+4a=0 \)

Решая это линейное уравнение, получим, что \( a=\frac{2}{3} \)
Если подставить это значение в основное уравнение, то получим второй корень \( x=4 \). То есть x тоже ограничен: 1<x<4.
По мере увеличения a экстремум параболы повышается и наступает момент, когда этот экстремум лежит на оси OX. Найдем параметры  x и  a для такого частного случая. Составим систему:

\( ax^2-2(a+1)x+4a=0 \)

\( 2ax-2a-2=0 \)

Решениями этой системы будут: \( x_1=-2 \, ; \quad a_1=-\frac{1}{3} \)

\( x_2=2 \, ; \quad a_2=1 \)

Первое решение противоречит заданному условию x>1. Принимаем второе решение. Тогда окончательно:

\( \frac{2}{3}<a<1 \)

x  может находиться лишь в узком диапазоне  \( 1<x<4 \)

[Kreator]

Огромное спасибо

[Kreator]

А может здесь быть какой-нибудь способ чуточку короче, просто как для тестового варианта это не совсем то

[renuar911]

Можно и короче, но при помощи   ссылка
Это чудо математики дает не только полученный выше интервал но и еще один: \( a \le 0 \)

[Kreator]

Есть подобная задача с решением, так вот я бы мог вам это решение скинуть если бы вы помогли мне разобраться что там к чему. Метод короче, но что-то мне совсем непонятно что там да как

[Kreator]

И кстати спасибо за сайтик

[renuar911]

С удовольствием посмотрю решение и поучусь сам. Вместе с Вами, думаю, мы одолеем.
Чем смогу, тем и помогу. Да и настоящие профи математики к нам на выручку придут.

[Kreator]

В задаче просят найти значения параметра а, при котором уравнене \( x^2-(2a+6)x+4a+12=0 \) имеет различные корни и каждый из которых меньше нуля.
Вообщем, авторы предложили два способа:
Делаем замену \( t=x-1 \) и полученное уравнение относительно t исследуем, как это было в одном из прошлых номеров(в той задаче требовалось найти значения а, при которых корни трёхчлена отрицательны). Вообщем там ничего необычного авторы не придумали: просто оценили при помощи дискриминанта при каких значениях а будет существовать два корня, а потом просто исходя из теоремы Виета составили систему, где \( x_1+x_2<0 \) и \( x_1*x_2>0 \). Вернёмся к первоначальной задаче: после замены авторы получили: \( (t+1)^2 -(2a+6)(t+1)+4a+12=0 \) или \( t^2 -(2a+4)t+2a+7=0 \). Применив теорему Виета авторы получили систему из \( 2a+4<0 \) и \( 2a+7>0 \) решение которой промежуток \( \left(-3,5 \right;-2) \). Потом оценили значение дискриминанта и на пересечении этих двух множеств получили возможные значения параметра.
Второй способ.
Оба корня будут меньше 1 при выполнении системы f(1)>0 и f'(1)>0. Другими словами нужно решить систему 2a+7>0 и 2a+4<0. Пересечением промежутка решений этой системы и положительного дискриминанта дают искомый интервал.
Ну, вот вам вообщем и почва для рассуждений.

[renuar911]

Я все обязательно проверяю. С Вашим примером  разочарую. Вот графики парабол при значениях a=-2 и a=-3.5. Видно, что в первом случае корней вообще нет, а во втором случае только один корень отрицательный. Возможно, Вы неверно списали уравнение. Сначала проверьте, а потом я покажу как надо решать проще.

[Kreator]

Да, извиняюсь - пару ошибок есть. Во-первых:

уравнение имеет различные корни и каждый из которых меньше нуля.

Не нуля а единицы.
Потом я ещё не дописал, что из промежутка (-3,5;-2) исключаются значения, при которых дискриминант полученного после подстановки уравнения меньше нуля, поэтому окончательный промежуток - (-3,5;-3).
Вот теперь всё по идее должно получиться.

[Kreator]

Кстати я разобрался в чём суть метода. С его помощью вполне можно решить и самое первое неравенство \( ax^2-2(a+1)x+4a<0 \). Различия будут только в паре действий и в том, что нужно будет потребовать положительный дискриминант до замены.

[renuar911]

Да, это верно.
Что касается примера, я поступил так: решил в общем виде квадратное уравнение:

\( x_{1,2}=a+3 \, \pm \, \sqrt{(a+3)^2-4a-12} \)

А потом элементарными раздумьями над граничными условиями также нашел интервал:

\( -3,5 \le a \le -3 \)

[Dimka1]

В задаче просят найти значения параметра а, при котором уравнене \( x^2-(2a+6)x+4a+12=0 \) имеет различные корни и каждый из которых меньше нуля.

1.Найдите дискриминант. Ур-е имеет 2 корня, если D>0. 
2 По условию корни меньше нуля. Выразите корни из уравнения и составьте систему 2 неравенств
 x1<0 и x2<0
Далее находите общее решение 3 неравенств
D>0
x1<0
x2<0