Готов помогать школьникам по решению задач по стереометрии

[Semen_K]

Готов безвозмездно помогать в рамках школьной программы по стереометрии. Только прошу не путать помощь с решением задач за вас. Следовательно, задавайте конкретные вопросы и  я постараюсь ответить. Вопросы типа - не могу решить не годятся. Необходимо изложить задачу или часть задачи и четко задать вопрос. Другие условия решения ваших задачь обсуждаются в личных сообщениях.
Возможна так же помощь по геометрии на тех же условиях

[Asix]

Постараемся держать это тему по выше, чтобы все желающие могли спросить или просто ее прикрепим по необходимости.
Задавайте вопросы конкретнее и будет Вам счастье =))

[Semen_K]

Единственная сложность, которая может возникнуть, на мой взгляд, при обсуждении - это отсутствие чертежа. А геометрия подразумевает как раз чертеж))

[Asix]

К сожалению я нигде не встречал инженерных пакетов для форумов. Единственный способ, который я знаю - это размещать к сообщения вложения с картинками решений.
Если Вы еще что-то придумаете, буду рад это обсудить.
Пока форум новый и не очень посещаем его можно несложно переделать =))

[Semen_K]

Я сейчас пользуюсь этим сайтом - http://www.radikal.ru/   Там очень быстро раззместить любой рисунок или фотографию. Свои рисунки и решения я как правило сканирую и размещаю в указанном сайте. Но я отдаю себе отчет, что сканеры не так распространены как цифровые фотоаппараты)) Хорошая возможность есть на сайте Вконтакте. Там есть функция Графитти))

[Semen_K]

Мне кажется будет полезным разместить в удобном месте дополнительные знаки для набора математических текстов. Очень сокращает время набора и повышает удобочитаемость) ¼ ½ ¾ ⅓ ⅔ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞ ² ³ ± ~ ‰ ∞ √ ∑ ∆ ℮ ∩ ≡ ≤ ≥ ≈ ∩

[Semen_K]

Тут появилась у меня интересная задачка) Интерес к ней возник от того, что никак не могу решить)) И так, условие: Через одну из вершин прямого параллелепипеда проведена плоскость так, что составляет со сходящимися в этой вершине ребрами углы соответственно А, В, С. Доказать что sin²A+sin²B+sin²C=1.
Буду благодарен всем, кто сможет поделиться идеей решения или подхода к решению. Само решение не так интересно))

[SmartStudent]

Ну я решил через метод координат)
Я не знаю, это можно считать за подсказку или нет?
Просто решение довольно короткое, а вы не хотите чтобы оно было оглашено...

Вообщем, надо решать через введение системы координат и выражения угла через скалярное произведение.

[Asix]

Можете конечно еще посекретничать, но решение хотелось бы увидеть =))
Жду с нетерпением, меня лично заинтриговало =))
Как думаете, может стоит создать раздел типа -  интересные задачки ?? И как его назвать ??

[SmartStudent]

Если до завтра Semen_K ничего не напишет, то опубликую решение...
Ну если я правильно решил, то там на самом деле нет ничего сложного...

Все, что нужно использовать это:

1) Параллелепипед прямоугольный

То есть, фактически, задача сводиться к тому, что сумма квадтратов синусов углов, образованны координатными осями с любой плоскостью проходящей через начало координат, равна единиц.
2) Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 Где (A,B,C) - нормаль.

[SmartStudent]

Так как параллелепиед прямой, то в для каждой его вершины можно ввести ПДСК(прямоугольная декартова система координат), оси которой направлени по ребрам сходящимся в этой вершине, а начало координат совпадает с самой вершиной.

Любая плоскность имеет вид Ax + By + Cx + D = 0
Поскольку она проходит по условию через начало координат то D = 0
И уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cx  = 0
Нормаль к этой плоскости есть вектор с координатами n = (A, B, C)

Пусть плоскость образует с осями угла a, b ,c ( соответственно с осями x, y, z или, что то же самое с ортами i(1,0,0), j(0,1,0), k =(0,0,1))

Тогда так как угол между прямой и плоскостью есть угол медлу прямой и её проекцией на эту плоскость, то если обозначить углы между нормалью и соответсвующими ортами ща an,bn,cn то получим соотношения.


a = 90 - an
b = 90 - bn
с = 90 - cn
(имеется ввиду 90 градусов)

Далее из определения скалярного произведения, найдем косинусы углов образованных нормалью к плоскости с координатными осями

sin(a) = sin(90 - an) = cos(an) = (n,i)/(|n|*|i|) = A/sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

sin(b) = sin(90 - bn) = cos(bn) = (n,j)/(|n|*|j|) = B/sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

sin(c) = sin(90 - cn) = cos(cn) = (n,k)/(|n|*|k|) = C/sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

(sin(a))^2 + (sin(b))^2 + (sin(c))^2  =

= (A^2)/(A^2 + B^2 + C^2) + (C^2)/(A^2 + B^2 + C^2) + (C^2)/(A^2 + B^2 + C^2) =

= (A^2 + B^2 + C^2) / (A^2 + B^2 + C^2)  = 1 ч.т.д.

[Asix]

А тебе поражаюсь =))
Читал с удовольствием =))
Точно надо спец раздел для интересных задачек создавать =))

[Semen_K]

К сожалению это решение было и у меня, но было отвергнуто)) Решить нужно методами школьной геометрии и стереомтрии без использования понятия векторов, координатных осей, координатных плоскостей и т.п.

[Semen_K]

Либо перевести в таковое на язык отличный от векторов и координат. В том то и фокус)) А я за появление отдельного раздела для интересных задач

[Semen_K]

Но некоторые идеи появились и думаю завтра представлю "геометрическое" решение