Сила натяжения нити, теория и онлайн калькуляторы

Сила натяжения нити

Понятие силы натяжения нити

Пусть тело прикреплено к нити, тогда силой натяжения нити называют силу, действующую на рассматриваемое тело, равную по величине и противоположную по направлению равнодействующей, приложенной к нити. Силу натяжения нити обозначают по-разному, чаще всего: $\overline{N}$, $\overline{T},\ \overline{F}$. Если равнодействующую, приложенную к нити обозначить как $\overline{R}$, то в соответствии с третьим законом Ньютона имеем:

\[\overline{N}=-\overline{R}\left(1\right).\]

Сила натяжения нити является реакцией подвеса (нити), на действие со стороны тела на подвес. Сила натяжения нити всегда имеет направление вдоль нити.

Очень часто при решении задач указывают, что нить является невесомой (массой нити в сравнении с массой груза можно пренебречь). Если нить невесома и нерастяжима, то такую нить рассматривают как проводник силы.

Если следует учитывать растяжение нити, при этом нагрузки малы, а нить упругая, то при вычислении силы натяжения используют закон Гука:

\[\overline{N}={\overline{F}}_u=k\Delta \overline{l}\left(2\right),\]

где ${\overline{F}}_u$ - сила упругости нити;$\ k$ - коэффициент упругости нити; $\Delta l$ - удлинение нити.

Единицей измерения силы натяжения нити в Международной системе единиц (СИ) (как и для любой другой силы) является ньютон:

\[\left[N\right]=H=\frac{кг\cdot м}{с^2}.\]

Примеры задач на силу натяжения нити

Пример 1

Задание. Какой будет сила натяжения нерастяжимой нити, связывающей два груза находящихся на горизонтальной гладкой поверхности (рис.1), если массы грузов равны $m_1$ и $m_2.\ $К одному из грузов приложена горизонтальная сила $F.$ Трение брусков о поверхность не учитывать. Нить считать невесомой.

Сила натяжения нити, пример 1

Решение. Рассмотрим силы, которые приложены к первому грузу, запишем второй закон Ньютона для этого тела:

\[\overline{F}+m_1\overline{g}+{\overline{N}}_1+{\overline{T}}_1=m_1\overline{a}\left(1.1\right),\]

$m_1\overline{g}$ - сила тяжести, действующая на первый груз; ${\overline{N}}_1$ - сила реакции горизонтальной опоры; ${\overline{T}}_1$ - сила натяжения нити.

Проектируя на оси X и Y уравнение (1.1) получаем:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:F-T_1=m_1a\left(1.2\right). \\ m_1g=N_1\left(1.3\right). \end{array} \right.\]

Рассмотрим силы, действующие на второй груз, запишем второй закон Ньютона для этих сил:

\[\overline{F}+m_2\overline{g}+{\overline{N}}_2+{\overline{T}}_2=m_2\overline{a}\left(1.4\right).\]

В проекциях на оси X и Y получаем систему уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:T_2=m_2a\left(1.5\right). \\ m_2g=N_2\left(1.6\right). \end{array} \right.\]

Так как нить считаем невесомой, то имеем:

\[T_1=T_2=T\left(1.7\right).\]

Из уравнения (1.5) выразим ускорение и подставим его в (1.2)получим величину силы натяжения нити:

\[F-T=m_1\frac{T}{m_2}\to T=\frac{Fm_2}{m_1+m_2}.\]

Ответ. $T=\frac{Fm_2}{m_1+m_2}$

   
Пример 2

Задание. К нерастяжимой нити подвешен массивный шарик. Шарик подняли так, что нить приняла горизонтальное положение, затем шарик отпустили. Какова сила натяжения нити в момент, когда шарик проходит положение равновесия? Какой угол составляет нить с вертикалью, если сила натяжения равна силе тяжести, действующая на шарик?

Решение. Сделаем рисунок.

Сила натяжения нити, пример 2

1) Силы, действующие на шарик в момент прохождения положения равновесия (положение А на рис.2): сила тяжести и сила натяжения нити. Для них запишем второй закон Ньютона:

\[m\overline{g}+\overline{N}=m\overline{a}\left(2.1\right).\]

Запишем проекцию выражения (2.1) на ось Y:

\[N-mg=ma_n\left(2.2\right),\]

где шарик движется с центростремительным ускорением, равным:

\[a_n=\frac{v^2}{l}\left(2.3\right),\]

$l$ - длина нити; $v$ - величина скорости движения шарика в точке А.

Скорость $v$ найдем из закона сохранения энергии (см. рис.2 $h=l$), который запишем для положений B (максимальная потенциальная энергия шара) и A (максимальная кинетическая энергия шара):

\[mgl=m\frac{v^2}{2}\to v^2=2gl\ \left(2.4\right).\]

Выразим силу натяжения нити из (2.2), подставим найденное ускорение, учитывая (2.4):

\[N=mg-m\frac{v^2}{l}=mg+m\frac{2gl}{l}=3mg.\]

2)

Сила натяжения нити, пример 3

Ось Y направим по нити, ось X перпендикулярно оси Y (рис.3).

Запишем проекцию уравнения (2.1) на новую ось Y:

\[N-mg{\cos \alpha \ }=ma_{n\ }\left(2.5\right).\]

Выразим силу натяжения нити:

\[N=ma_{n\ }+mg{\cos \alpha \ }\left(2.6\right).\]

Учитывая (2.3), получим:

\[N=m\frac{v^2}{l}+mg{\cos \alpha \ }\left(2.7\right).\]

Потенциальная энергия шарика в положении C равна $E_p=mgl{\cos \alpha \ }$, она переходит полностью в кинетическую энергию положения А ($E_k=m\frac{v^2}{2}$):

\[m\frac{v^2}{2}=mgl{\cos \alpha \ }\left(2.8\right).\]

Из (2.6) выразим $v^2$, имеем:

\[v^2=2gl{\cos \alpha \ }\left(2.9\right).\]

Подставим результат (2.9) в формулу (2.7), получили:

\[N=m\frac{2gl{cos \alpha \ }}{l}+mg{\cos \alpha \ }\ \left(2.10\right).\]

Приравниваем по условию силу натяжения нити к силе тяжести, выражаем величину угла:

\[mg=m\frac{2gl{cos \alpha \ }}{l}+mg{\cos \alpha \ }\to 1=3{cos \alpha \to \alpha =arc{\cos \frac{1}{3}\ }\ }.\]

Ответ. 1) $N=3mg$. 2) $\alpha =arc{\cos \frac{1}{3}\ }$

   

Читать дальше: сообщающиеся сосуды.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 458 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!